Teoria dos Jogos

 O jogo desenvolvido estuda as escolhas de, antes de uma prova, dois jogadores, A e B, estudarem ou não para a mesma. Descrevemos o jogo como sendo:

		Jogador B
		Estudar	Não estudar
Jogador A	Estudar	10 , 10	7 , 2
	Não estudar	2 , 7	0 , 0

Onde os pay-off significam quais são os ganhos de cada jogador ao fazer sua escolha. Uma vez que colocamos que só se pode estudar em grupo, a combinação {Estudar, Estudar} se refere aos dois estudarem juntos, como um grupo de estudos, e as combinações {Estudar, Não estudar} e {Não estudar, Estudar} simbolizam que apenas um deles decidiu estudar, sendo que um deles pode ensinar alguma coisa nas prévias da prova, o que explica os pay-off’s (2 , 7) e (7 , 2). Pois o jogador que decidiu estudar, terá que aprender toda a disciplina sozinho, e depois, poderá ensina-la, e difere do (10 , 10) pois os dois jogadores estudando juntos, há uma cooperação e a probabilidade de que haja dúvidas mesmo após os estudos diminuem. A combinação {Não estudar , Não estudar} reflete que os dois decidem não estudar e por isso o pay-off é nulo, pois não há como eles irem bem na avaliação.

E analisando o jogo, encontramos um equilíbrio de Nash na combinação {Estudar,Estudar}, pois se o Jogador A escolhe estudar, a melhor resposta do jogador B é, também, estudar, e a volta também é valida, se o jogador B escolhe gastar seu tempo nos estudos, a melhor escolha de resposta do jogador A é estudar com ele.

Temos também que {Estudar} é uma estratégia dominante para os dois jogadores, que, nesse caso, são alunos, pois para qualquer escolha do jogador “adversário”, a melhor resposta sempre será estudar.

Podemos também perceber que o jogo não tem estratégia mista, pois calculando as probabilidades de cada escolha temos que o valor de p e de q seriam maiores que 1. O que é impossível, matematicamente.

Escrevendo o mesmo jogo numa forma seqüencial temos o seguinte diagrama:

			Jogador B		Estudar
		Estudar				10 , 10
						7 , 2
Jogador A					Não Estudar
					Estudar
						2 , 7
		Não Estudar				0 , 0
					Não Estudar

O jogo, na forma seqüencial, nos mostra um equilíbrio de subjogos na estratégia {Estudar , Estudar}, o mesmo equilíbrio de Nash encontrado na forma extensiva.

Conclusão: é sempre melhor estudar para uma prova, em  grupo ou mesmo sozinho.

Podemos tentar escrever o mesmo jogo com 3 jogadores, como a matriz de pagamento desse jogo seria 2x2x2, seria impossível mostra-la de uma forma normal. Então, podemos fixar a escolha do terceiro jogador e analisar seus pay-off’s:

Caso o Jogador C escolha {Estudar}:

		Jogador B
		Estudar	Não estudar
Jogador A	Estudar	10 , 10 , 10	10 , 4 , 10
	Não estudar	4 , 10 , 10	1 , 1 , 7

Se todos estudarem, ou dois deles estudarem juntos, o pagamento será de 10, o máximo estabelecido para o jogo. Mas se apenas um deles não estudar, ele terá duas pessoas para ajuda-lo  na hora da prova, por isso o pay-off é multiplicado por 2. Do contrario, se apenas um deles estudar, o pagamento de quem não estuda é dividido por dois, pois uma só pessoa terá que ajudar os dois que não estudaram. Estas análises continuaram explicando os pagamentos da matriz a seguir, onde o Jogador C escolhe {Não estudar}.

		Jogador B
		Estudar	Não estudar
Jogador A	Estudar	10 , 10 , 4	7 , 1 , 1
	Não estudar	1 , 7 , 1	0 , 0 , 0

Podemos perceber, embora com uma analise mais detalhada e cuidadosa, um equilíbrio de Nash na escolha {Estudar, Estudar, Estudar}. E a mesma estratégia é tida como estratégia dominante para qualquer dos três jogadores.

Podemos estender esse jogo para N jogadores e fazer um estudo em grupo, realmente. E sempre concluiremos que é melhor estudar em grupo ou sozinho, mas que quando o estudo é em grupo, o rendimento aumenta exponencialmente. Podemos, também, definir uma matriz de pagamento para um jogo de estudos onde as escolhas seriam o numero de horas dedicadas ao estudo. Essa seria uma matriz NxN onde N é o numero máximo de horas que um aluno estuda. Um exemplo simples de um jogo com horas poderia ser:

		Jogador B
		"1 - 4"	"4 - 8"	"8 - 12"	"12 - 16"
Jogador A	"1 - 4"	1 , 1	2 , 4	3 , 8	4 , 12
	"4 - 8"	4 , 2	5 , 5	6 , 9	7 , 13
	"8 - 12"	8 , 3	9 , 6	10 , 10	11 , 14
	"12 - 16"	12 , 4	13 , 7	14 , 11	15 , 15

Sabemos, das outras análises, que quanto mais um jogador estuda, o pagamento dele aumenta, assim como o do outro, pois há cooperação e um pode ajudar o outro. E a cada hora a mais de estudo o pagamento aumenta em 1, mas se o estudo é acompanhado, essas horas valem mais e o pay-off aumenta em mais 1.